數學物理方法證明世界數學難題----地圖四色難題

編輯:

2019-11-22

1623

地圖四色問題又稱四色猜想，與哥德巴赫猜想、費馬猜想一起并稱為為世界三大數學猜想、世界三大數學難題。1965年5月，陳景潤發表論文《大偶數表示一個素數及一個不超過2個素數的乘積之和》，最接近攻克哥德巴赫猜想?？N云企業家周立敬，從1980年開始，用四十年的堅持，攻克又一世界級數學難題——四色猜想?，F周立敬的論文《數學物理方法證明世界數學難題——地圖四色難題》已發表在《內蒙古科技》（2019年第12期/38卷/總第450期）上，在科技界、學術界引起了巨大反響。

周立敬，1962年出生，麗水縉云人，理學學士、高級工程師，1979年以物理滿分考入杭州大學物理系，現為浙江博星電子有限公司董事長。研究方向：大功率半導體芯片及器件設計、制造；最大愛好：數論研究。

題目：任何復雜的地圖只要用四種顏色填色就能使任何相鄰區域不同色。（不能有飛地）

摘要：本文作者獨創把四色問題變成特殊的平面結構加一維的三維的物理方法來解決任何二維的任意平面結構問題，很巧妙的證明了四色問題。本文作者先根據地圖來源創造了變化規則，再用規則的變化推出對結果的結論。用結論來指導操作具體填色的先后，論文一目了然，簡單清晰，用數學物理方法把復雜的事情簡單明了，特別是作者回頭檢查各種假設的。自由度的充分性推導出地圖的任意性，證明了用四種顏色填色就能使任何復雜的地圖任何相鄰區域不同色（不能有飛地）。

引言：四色問題又稱四色猜想，四色定理，是世界三大數學猜想之一，最先是由一位古德里（Francis Guthrie）的英國大學生1852年提出來的，四色問題的內容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色?！币簿褪钦f在不引起混淆的情況下一張地圖只需四種顏色來標記就行。用數學語言表示即“將平面任意地細分為不相重疊的區域，每一個區域總可以用1234這四個數字之一來標記而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字?！边@里所指的相鄰區域是指有一整段邊界是公共的。如果兩個區域只相遇于一點就不叫相鄰的。因為用相同的顏色著色不會引起混淆。

四色問題提出來后，經過許多數學家多次證明又否定，發現是出人意料地，異常地困難，許多數學家雖然對此絞盡腦汁，但一無所獲，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。

1976年6月，在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億個判斷，結果沒有一張地圖是需要五色的，最終證明了四色定理。但計算機證明無法給出令人信服的思考過程，能不能用恰當邏輯方法證明是一個很重要關鍵問題。要證明四色問題，首先要解決具體的填色方法，因為同一張地圖的填色，先后順序是很關鍵的，哪塊先填哪塊后填對結果是不一樣的。解決了填色順序問題后，還必須證明這種方法對所有的地圖有效，沒有反例即充分性，這才是一個完整的證明。具體怎么證明請看下面：

一、由于實際地圖的不規則性，任何圖形都可能出現，具體就是組建模型。

首先，根據地圖的產生原理，平面上每個點都可能擴大形成一個復雜的勢力范圍，即一個面。而這個面也會不斷變化，形成一個多個面互相交錯的復雜局面，這就是地圖。根據地圖的形成過程變化可以總結出四點變化規則：

規則A、把平面任意一個點都允許變成一個面。

規則B、把任意一條線允許延長或縮短至一個點。

規則C、把任意一個面允許放大或縮小直至一個點。

規則D、任意一條邊允許變成任意曲線。

這樣任何復雜的地圖都可由規則A、B、C、D四種變化來完成（即地圖的產生過程及結果）。

二、由以上四種變化規則來分析對地圖填色的影響。

規則A變化：

任何一點由點變面，要看這個點變化后相鄰有幾面，若相鄰只有三面則其相鄰最多只需三色，若有更多面相鄰則看后面分析安排。

規則B變化：

不會影響相交兩面不同色。

規則C變化：

實質是規則B 變化的一種形式，也不會影響其相交兩面不同色。

規則D變化：

更不影響其相鄰兩面不同色。

三、把平面用正六角方塊網格化分完，如圖1，邊角處理：邊? 上有一點就算一塊，沒有就不算。這樣理想條件下的地圖假設為系統N，N完全符合正六角分布則只要用三種顏色填色就能按要求滿足填色（即相鄰區域不同色）。

四、任何復雜的地圖就是規則A、B、C、D四種變化一直變下去的結果，這個地圖暫且定義成：平面上有若干個面，每個面上有若干個節點，每個節點有若干個相交的面。

本質分解：現在來分析規則A變化對N的影響：

a)六角形地圖，面上任一點由點變面后為一個面相交

b)六角形地圖，邊上任一點由點變面后為兩個面相交

c)六角形地圖，角上任一點由點變面后為三個面相交

d)縮短任一邊為點，再由點變面后為四個面相交

e)在d的基礎上再縮短任一邊為點，再由點變面為五個面相交。

f)依次類推可變出任意個相交面的點。

五，至于對于具體的任意一張地圖：

先標出每塊地塊與相鄰地塊有n塊相鄰，n=1、2、3的可先去掉，先不計也不管，以后可由規則A變化來完成填色。這個過程可一遍一遍搞下去直到剩余的每塊的n≥4.

n大于等于4的每塊可分解成：

如n=5可由三個三線星組成（三線星即六角形的一只角，有三條線一個點或三個面相交，象星星三條線叫三線星）

n=6由四個三線星組成

n可由（n-2）個三線星組成

具體的地圖可由結構式示意，如圖3表示。任何一塊地的n可以派生變化，對于具體的地圖就有具體的數及結構。

對于實際地圖N₁經規則C變化，每塊地變成一個點，再由點變面這時對于n的數即為n=(每個節點的三線星數)，即得N₁'，這時N₁₌ N₁'， N₁'就成了：有若干個面，每個面有若干個相鄰的面這樣簡單。

把N₁'中的任一塊作為第4色n_x在N地圖上用本質分解來堆砌如圖2,其余剩下的相鄰的作n_y系統1、2、3色區塊作為基礎，堆完之后再取任一塊作為n_x再堆砌。只要N六角形足夠多就能把N₁'堆砌完，堆時盡量靠近。不過總有一部分空檔，外面都是空的，這時定義為N₂'。把N₂'用規則B，C變化把空檔和無用的通通去掉得到N₃'.

N₁'若能變成N₂'再變成N₃'則N₂'= N₃'，N₁'因是在N的基礎上由B、C規則變化成N₃'，而規則B、C的變化并不影響相鄰面不同色，而N要滿足規則A變化只要用四色填色就足夠了。所以N₁'要滿足A點變化只要4色也就足夠了。因此任何復雜的地圖（條“四”暫且定義的地圖）只要用四色就能區分，這也就是簡單的四色定理的證明。這個方法叫做“理想六角方格填色法”。

六，N₁'變成N₂'有哪些注意事項和特點，請看具體處理：

注6.1根據地圖數量大小來決定六角方格的數量，要有足夠的六角方格數量。

注6.2地圖填色完成后至于地圖的圖形可由規則D變化來完成吻合滿足。

注6.3對于每個節點有若干個相交的面，在本質上就是：這個點是由在N上相應（n-2）個三線星疊加由規則A變化由點變面而成，就很直觀了。

6.4：從前面的“理想六角方格填色法”操作方法得：

第四色n_x_，的結構任意：任意大?。╪_x≥4前已述）允許各種結構沒有限制，可任意與其它的n_y三色組合相鄰。
操作順序的任意性：堆砌時可任意先后，前面填完后面跟上。

3、對與第四色n_x相交的面n_y，其n_y的大?。╪_y≧4這如前面所述）的要求的任意性，可大可小。

簡單的說：對n_x(第四色）因前面所述，其周邊分

別為1,2,3色環繞，沒有問題。（沒超出4色）

對n_y其周邊則為其1,2,3的其余兩色交叉環繞

（如1則為2,3兩色相交叉環繞

2則為1,3兩色交叉環繞

3則為1,2兩色交叉環繞）

由第4色隔開

由于第4色的性質特殊性（特殊性是暫時的，可定義任何色為第4色，其實各色的地位是相等的）。按需可由n_y周邊的多次相取，實際上是對n_y周邊的第4色一次或多次相插而成。插一次多一個相交的面，插二次就多兩個相交的面，依次類推，具體多少次可由六格方格系統自動調節，堆完就自動搞定。

七、對于具體“理想六角方格填色法”的地圖填色，其方法其相應的處理方法如下：

步驟1，把地圖每地塊編號，把n≤3的先鉤掉，（先記住編號以后由A點變化恢復），一遍又一遍，最終成為每塊n≥4的地圖

步驟2，取任一n_x在N（六角方格）上按任意結構排列堆砌（N的每塊按1色,2色,3色，固定）

步驟3，n_x周邊地塊相應地按一定順序如順時針對應填上所有的n_y顏色，n_y較大者進行消去兩點處理*（消去兩點方法參照圖4），對較大者消去兩點可重復多次進行，完成后返回經“步驟1”處理的地圖。

步驟4，再取沒填色的n_x按“步驟2”方法進行堆砌，“步驟3”堆砌后填色固定，直至地圖每塊填上顏色。

（注：對n_y的多次相取實為n_y的第4色多次相插，可按需相取，但n_y數值不變，前已述）

步驟4說明：根據經驗簡易的地圖可按以下先后程序填色：
檢查沒填色的各塊已經有與1色2色3色同時碰的填上nx（即4色）
ny大的可先填
可填ny的一般不要填nx

一般情況下都能很快填好，但復雜的請嚴格按N上的先堆砌，再相應的按結構在地圖上填色，由N的結構來調整相互之間的關系。

步驟5，再對經“步驟1”處理的地圖由A點變化恢復，再填上顏色就可以了。

以上可知：每組n_x,n_y成組后按理想N的規則作工具進行自動配合調整就可得到地圖的填色了。

八、事實上由以上的“6.4”條推出的nx,ny的任意，三任意是不夠的，沒有達到任意地圖的充分性條件,地圖的任意性應該是：四色的任一色區域都有可能與其它三色區域相鄰，前面的理想六角方格堆砌結構，雖然第四色n_x可與其它三色區域有任意相鄰的結構，可剩下n_y 三色區域之間都是理想的只能是各各相鄰，地圖的任意性要求n_y 三色之間也必須有任意相鄰之要求，不能只是倆倆相鄰，那么任意相鄰與倆倆相鄰有什么區別的呢，如圖五：

圖五

n_{y 1}外面的a₁區隔著B區和bx區與b₁相鄰，這時相當于a₁與b₁是倆倆相鄰，是理想的六角方格，用前面的“理想六角方格填色法”處理，再加bx+B區，這是一個對前面的理想六角方格地圖是多余出來的地圖，這也是一個任意地圖，是一個周邊已填色的中間任意地圖，簡稱多余區域。多余區域的處理：在“理想六角方格填色法”處理過程中，碰到多余區域先暫停，后再用同樣的“理想六角方格填色法”加多余區域處理。因是任意地圖多余區域的特殊性，數量是可以有若干個，但不管幾個，任意的地圖就是六角方格理想區域加若干個多余區域。關于多余區域既然有一個三面已填色的內任意地圖，類推所得有二面已填色的內任意地圖與一面已填色的內任意地圖直至四面五面至多面已填色的內任意地圖。這樣任意地圖可表達為：理想的六角方格變化地圖與1至多面已填表色的內任意地圖的各種組合。同樣條七的“步驟4”應修改為：步驟4：先分析地圖上有沒有多余區域，若有則把多余區域部分暫停，后再用多區域處理法處理填色，若沒碰到多余區域則再取沒填色的n_y按步驟2方法進行堆砌“步驟3”填色固定直至每塊填上顏色。

對于多余區域的外面已填色的內任意地圖的填色處理可參照圖六。

圖六

在六角方格的外面先畫一個Y圈，在Y圈內堆徹，用Y色作為n_x第四色來堆砌（Y圈內的Y色位置用原第四色來替代），如碰到不規則結構先留著，堆完后用規則B、C去空，剩下的為一面已填色（Y色）的任意地圖填色。其它多余區域外邊已填色的參照Y圈，把Y圈分成幾段，每一段在圈內畫一個同色圈，各個同色圈要靠攏把大圈內分完，在圈內同色圈內參照Y圈方法以每段色，作為第四色n_x來堆砌如碰到不規則結構也先留著，圈與圈之間關系由原六角方格來調整。同樣堆砌后用規則B、C去空剩下的即為外面已填色的內任意地圖填色。不過一般大于3個面已填色的可用六角方格理想填色法直接填色也是一樣的，不必用外面已填色的內任意地圖方法填色。這就是四色定理的完整證明。

結束語：

本證明已想法多年，在本人讀大學時起已近40年，中間多次修改，苦于少人交流，苦惱不已。經多人幫助終于完稿，其中特別感謝我的大學班長湯子康先生給予的各種支持。